1  形状別の薄板ばね計算式

・1-1 長方形断面の片持ばね

薄板ばねのもっとも単純なものは長方形断面の片持ちばねであるといえます。

固定端をＡ、自由端をＢとして、点Ｂに荷重Ｐが加わった場合の計算式は

・・・（1）

ここでＩは断面2次モーメントを示します。

・・・（2）

であらわされ、
が大きい場合には

・・・（3）

とします。

したがって、が大きい場合の計算式は

・・・（4）

となります。

νはポアソン比をあらわし、鋼の場合、ν≒0.3である。応力は固定端で最大となり

・・・（5）

となります。

・1-2 台形状片持ちの薄板ばね計算式

図2

図2にように、薄板ばねの板厚が一定で、板幅が直線的に変化している場合は、自由端のたわみδは、

・・・（6）

式中のBは、板幅bの曲げ剛性を表します。算出には、板厚によって以下の２種類の式を使い分けます。
板厚が厚い場合は、

・・・（7）

板厚がごく薄い場合は、

・・・（8）

また、式中のαの値は、β=b1/bによって図３から求めます。

図３

・1-3 板幅が段付けをしている薄板ばね計算式

図４

図4のように、板厚が一定で、板幅が段付けをしている薄板ばねの自由端のたわみδは、

・・・（9）

となります。

δ^A：Pによる段付き部Aのたわみ
i^A：Pによる段付き部Aのたわみ角
δ^B：長さl2 、板幅b2 の片持ちはりの自由端のたわみ
B¹：板幅b1の曲げ剛性
B²：板幅b2の曲げ剛性

・1-4 円環状片持ちの薄板ばね計算式

図５

板厚の中心が直線で、板幅の中心線が円弧状をしている図５のような形状に、垂直荷重Pが自由端に作用した場合、任意位置φでのたわみδφは、

・・・（10）

となります。式中のCは板のねじり剛性を表します。

・・・（11）

Gの詳細な値については、技術・計算情報のコイルばねの計算式のページを参照して下さい。

・1-5 円弧状片持ちの薄板ばね計算式

図６

板厚の中心線が円弧である片持ちばねに荷重が作用したときのたわみを求めるには、一般的にカスチリアノの定理を用います。以下にこの定理を利用した計算結果を示します。
図６に示す円弧状の薄板ばねに、垂直荷重Ｐ、水平荷重Ｗがそれぞれ単純に中心角αの位置に作用したとき、中心角βの位置でのy方向のたわみδ^y 、x方向のたわみδ^xは次のようになります。

Ｐによるたわみδ^yは、β＜αのとき、

・・・（12）

Ｐによるたわみδ^yは、β＞αのとき、

・・・（13）

Ｗによるたわみδ^xは、β＜αのとき、

・・・（14）

Ｗによるたわみδ^xは、β＞αのとき、

・・・（15）

図７

図７においては、たわみδ^y 、δ^xははそれぞれ次のようになります。

・・・（16）

・・・（17）

図８

図８の場合は、

・・・（18）

・・・（19）

となります。

Ｐによる最大応力σ^maxはつねに固定端に発生し、

・・・（20）

Ｗによる最大応力は、α＜30°では図８のＡ点で、α＞30°では固定端で起こり、

・・・（21）

となります。

・1-6 円輪状の薄板ばね計算式

図９

図９に示す円輪状のばねは、上下対称であるので図8の形状のたわみの２倍が全たわみとなります。

・・・（22）

・1-7 半円と1/4円との組み合わせの薄板ばねの計算式

図10

図10に示す半円と1/4円との組合せの薄板ばねにおいてたわみは、

・・・（23）

最大応力は固定端に生じ、

・・・（24）

となります。

・1-8 円弧の薄板ばねの計算式

図11

図11左側に示す形状の自由端のたわみは、

・・・（25）

図11右側の形状のように、水平方向が拘束されている円弧の場合は、

・・・（26）

で求められます。この二つの場合どちらも、最大応力は、

・・・（27）

で求められます。

・1-9 円弧と直線部を有する薄板ばねの計算式

  ・1-9-1 円弧と直線部を有する薄板ばねの計算式　その１

図12

図12のように、直線部ABと円弧部BDとが組合わせられて、一端Dが固定され、もう一端Aに垂直荷重Ｐまたは水平荷重Ｗが作用したとき、
δ^yとδ^xはそれぞれ次のようになります。

・・・（28）

・・・（29）

β=πl²の場合には、

・・・（30）

Ｗが作用する場合には、

・・・（31）

・・・（32）

となります。ここで、式中のλは、λ＝l / R を表します。

また、最大応力は、β≦π / 2 では固定端において生じ、β＞π / 2 ではC点に生じ、

・・・（33）

となります。

  ・1-9-2 円弧と直線部を有する薄板ばねの計算式　その２

図13

図13のばねは、図12のばねを２つ組み合わせたもので、荷重作用方向のたわみδは、式28で得られたたわみの2×sin²β倍となります。

・・・（34）

図14

図14のように、直線部と円弧部を有したばねのA端のたわみは、

・・・（35）

ここで、式中のλとμは、λ＝l¹ / R、μ＝l² / R を表します。
最大曲げ応力は、C点において生じ、

・・・（36）

となります。

L¹＜L²のとき、(l²ーl²)＞(l¹＋R)の場合、最大応力は固定端で起こり、
(l²ーl²)＜(l＋R)の場合は、C点で生じ、最大応力の式は、式(36)となる。
λ＝μのときは、

・・・（37）

となります。

  ・1-9-3 円弧と直線部を有する薄板ばねの計算式　その３

図15

図15の形状の場合には、AC部とCD部とを分割して、式(30)のたわみの２倍と

・・・（38）

のたわみをそれぞれ計算し、それらを足し合わせることでA部のたわみを得ることができます。

  ・1-9-4 円弧と直線部を有する薄板ばねの計算式　その４

図16

図16のように、直線部が固定されており、円弧部のA端に荷重が作用したとき、
A端垂直たわみδ^y及び水平たわみδ^xは、λ＝l / Rとして荷重Ｐが作用したとき、

・・・（39）

・・・（40）

となり、荷重Wが作用した場合は、

・・・（41）

・・・（42）

となります。

図17

図17の形状では、荷重Ｐが作用したとき、

・・・（43）

・・・（44）

となり、Ｗが作用した場合は、

・・・（45）

・・・（46）

となります。ここで、λ＝l / Rを表します。

  ・1-9-5 円弧と直線部を有する薄板ばねの計算式　その５

図18

曲率半径の小さい円弧と直線が組合わせれた図18のような形状のばねでは、円弧部の半径を無視してたわみは次式で表されます。

・・・（47）

最大応力は、l¹＞(l³ / 2)のとき、BC部に生じ、

・・・（48）

l¹＜(l² / 2)の場合は、固定端に生じ、

・・・（49）

となります。

  ・1-9-6 円弧と直線部が複雑に組み合わされる薄板ばねの計算式

薄板ばねの形状は、実際には円弧部と直線部が複雑に組み合わされたものが多く、これまでにご紹介した式を使用することができます。以下に示す形状と計算式はこれまでの応用的な考え方になります。
図19

図19の形状は、図13の形状が２個集まったものと考えて、式(34)の２倍としてたわみを求めることができます。
図20

図20の形状では、両端部が図10と同様であり、応力の式は式(24)で示すことができます。
対称軸に関する片側のたわみは式(23)にl部分を加えて、片側のたわみは、

・・・（50）

が与えられます。

２．特性・用途別の薄板ばね計算式

・2-1 非線形特性の薄板ばねの計算式

図21

非線形特性の薄板ばねは、図21のように、たわみによって、順次固定接着位置が変化するような接着部の構造にすると実現します。
非線形特性の薄板ばねの式は以下となります。

・・・（51）

・2-2 軸荷重と横荷重を受ける薄板ばねの計算式

図22

薄板ばねが図22のような荷重は、測定機器などの用途にみられます。一端が固定されて、もう一方の端は横方向に動けますが回転はできません。この場合は、軸荷重Pが座屈荷重に比べて小さいものとすると、横荷重Qによるたわみδ及び応力σは以下の式で表されます。

・・・（52）

・・・（53）

Ｐが座屈荷重より大きい場合は、上の式にP / P^erによって決まる係数C¹及びK²を乗じたものとなります。
ここに、P^erはオイラーの座屈荷重で

・・・（54）

となります。ここで係数C¹、K²は、以下の式となります。

・・・（55）

・・・（56）

・2-3 大たわみの薄板ばね計算式

・2-3-1 長方形断面の薄板ばね

図23

たわみが大きい場合、l はl’ に変化し、この影響を加味した計算結果を示したものが図24になります。

図24

図の横軸はα＝Pl² / EI を示し、縦軸はβ＝l’ / l、γ＝δ’ / δを示します。
EI は板の曲げこわさを表し、b / h が大きいときには、I＝bh³ / 12(1ーν²)となります。
図24を見ると明らかなように、αの値が小さい、つまり荷重Pが小さいときは、
β及びγは１に近く、α＝1.0の時にβ＝0.950、γ＝0.9222になります。
したがって、この程度の変形の場合には、実用上大たわみとして取り扱わなくてもよいと考えられます。

  ・2-3-2 台形状片持ちの薄板ばね

図25
図26

台形状の片持ちの薄板ばねのたわみが大きい場合の近似値の結果を、図25、26に示します。
横軸にC＝Pl² / El⁰をとり、b / b⁰をパラメーターとして縦軸にはたわみまたは応力の減少率を示しており、
これを式 σ＝6Pl / bh²に適用すればよいということになります。