ゼンマイばねの蓄力エネルギーの計算方法を教えてください。

ご質問いただきありがとうございます。

ぜんまいばねのエネルギーを考える前に、モーメント(トルク)働いたときの
エネルギーについて説明します。
平面上の物体を回転させるとき、半径rの位置に力Fを負荷して、
この物体をある角度φ(rad)回転させた
ときのエネルギーは、
W=F*r*φ
となります。また、モーメントMは、
M=F*r
より、エネルギーは、
W=Mφ
と書き換えることができます。
これより、微小に回転したときのエネルギーは、
dW=Mdφ
となります。これより、例えば角度0からφ1まで回転させたときの
エネルギーW1は、
W1=∫Mdφ［φ:0→φ1］
という積分の式で表されます。

つぎに本題ですが、上記の式は、モーメントが一定のときの式ですが、
ぜんまいばねのモーメントは、回転角度φを変数にもつ式で表されるため、
M(φ)とします。これより、ぜんまいばねのエネルギーは、
W=∫M(φ)dφ
と表すことができます。あとは、任意の区間で積分するだけです。

ぜんまいばねは、形状によってモーメントとの計算式が異なるため、
この場では、具体的に示しませんが、基本的には定数に回転角度φを
かけた一次関数の式となっているので、積分は難しくないかと思います。

非接触ぜんまいのばね定数の式については、弊社の技術・計算情報のぜんまいのページ
にも記載されているとおり、
M/φ=k=E*I/L=E*b*t^3/(12*L)
これより、
M=(E*b*t^3/(12*L))*φ
エネルギーWは、
W=∫M(φ)*10^-3dφ
　=∫(E*b*t^3/(12*L))*φ*10^-3 dφ
=1/2*(E*b*t^3/(12*L))*φ^2*10^-3

※1モーメントの計算はmm単位系で計算しており、エネルギーは、
　m単位系であるため、10^-3をかけている。
※2上記計算式を実際に使用する際は、定積分をするため積分定数は省略。

M:モーメント(N・mm)、φ:回転角度(rad)、k:ばね定数(N・mm/rad)、E:縦弾性係数(N/mm^2)
I:断面二次モーメント(mm^4)、L:展開長(mm)、b:板幅(mm)、t:板厚(mm)
W:エネルギー(J)

見づらいかと思いますが、上記の計算になるかと思います。